本征值是线性代数和量子力学中非常重要的概念，具有以下性质：

线性变换下的缩放比例

对于一个给定的矩阵，其特征向量经过该矩阵的线性变换后，得到的新向量仍然与原来的特征向量保持在同一条直线上，但其长度或方向可能会改变。

特征值是特征向量长度缩放的比例，是一个标量。

特征值与特征向量的关系

如果特征值为正，表示特征向量在经过线性变换后方向不变。

如果特征值为负，表示特征向量方向会反转。

如果特征值为0，表示特征向量缩回原点。

量子力学中的能量

在量子力学中，微分方程的本征值与粒子的能量有关。

薛定谔方程是描述粒子在势场中运动的基本方程，其本征值是能量本征值，表示粒子在特定势场中的能量状态。

本征值可以是离散的或连续的，这取决于势场的类型。

决定粒子的可能状态

本征值决定了粒子的可能位置和动量，从而揭示了量子系统的基本性质。

这些性质是理解和应用本征值概念的基础，无论是在理论物理还是在工程实践中。