在微积分中，证明题取中间值通常是为了证明导数的连续性。导数的连续性意味着函数在某一点的导数存在，并且在该点的极限值等于该点的导数值。这可以通过中值定理来证明。

中值定理表述如下：如果函数$f（x）$在闭区间$[a, b]$上连续，并且在开区间$（a, b）$内可导，那么至少存在一个点$c in （a, b）$，使得：

$$f'（c） = frac{f（b） - f（a）}{b - a}$$

即，函数在区间端点处的差商极限等于区间内某点的导数。

为了证明导数在某点连续，我们需要证明导数在该点的极限存在并且等于导数值。这通常通过构造一个辅助函数$g（x）$，该函数在区间$[a, b]$上连续，并且在开区间$（a, b）$内可导，满足$g（a） = f（a）$和$g（b） = f（b）$。然后，我们可以证明$g'（x）$在区间$（a, b）$内等于$f（x）$的平均值，即：

$$g'（x） = frac{f（b） - f（a）}{b - a}$$

由于$g（x）$是连续的，并且取遍$f（x）$在$[a, b]$上的所有值，根据介值定理，存在一个点$c in [a, b]$，使得$g'（c） = f'（c）$。这样，我们就证明了导数在$c$点的极限存在并且等于导数值，即导数在$c$点连续。

需要注意的是，中值定理和介值定理都是微积分中非常重要的定理，它们在证明导数连续性和解决其他微积分问题中起着关键作用