二维正态分布，也称为二维高斯分布，是概率论和统计学中一个非常重要的连续概率分布。以下是二维正态分布的一些关键性质：

边缘分布

X和Y的边缘分布都是一维正态分布。

X的边缘分布由参数μx和σx定义，Y的边缘分布由参数μy和σy定义。

条件分布

给定X=x时，Y的条件分布也是一维正态分布。

线性组合

X和Y的任意线性组合（形式为aX + bY，其中a和b为常数）也服从正态分布。

旋转对称性

二维正态分布的概率密度函数具有旋转对称性，即当坐标轴旋转θ角度时，概率密度函数的形式不变。

独立性

X和Y相互独立的充要条件是它们的相关系数ρ=0。

参数意义

二维正态分布由五个参数定义：μx, μy, σx, σy， 和ρ（X和Y的相关系数）。

期望和方差

X的期望是μx，Y的期望是μy。

X的方差是σx^2，Y的方差是σy^2。

联合概率密度函数

二维正态分布的概率密度函数可以表示为：

[ f（x,y） = frac{1}{2pisigma_x^2sigma_y^2sqrt{1-rho^2}} expleft（-frac{（x-mu_x）^2}{2sigma_x^2} - frac{（y-mu_y）^2}{2sigma_y^2} + frac{2rhosigma_xsigma_y（x-mu_x）（y-mu_y）}{2sigma_x^2sigma_y^2}right） ]

这些性质使得二维正态分布在统计学、物理学、工程学以及许多其他科学领域中都有广泛的应用。