矩阵的极大线性无关组是指矩阵中最大的线性无关向量组。以下是判断极大线性无关组的关键条件：

矩阵满秩：

当矩阵A是满秩时，即矩阵的秩等于其行数或列数，A中的行向量或列向量组是线性无关的，并且构成极大线性无关组。

阶梯型矩阵：

将矩阵化成阶梯型矩阵后，每一行的第一个非零元素所对应的列向量构成一个极大线性无关组。

向量个数：

极大线性无关组中包含的向量个数等于矩阵的秩。当这个个数等于矩阵的列数时，极大线性无关组是唯一的。

向量维度：

如果矩阵的行数或列数等于向量的维度（即矩阵的秩），那么极大线性无关组也是唯一的，因为此时无法再加入任何向量而不破坏线性无关性。

总结来说，一个矩阵的极大线性无关组存在于以下情况：

当矩阵满秩时，其行向量或列向量组构成极大线性无关组。

当矩阵的秩等于列数时，极大线性无关组包含的向量个数与列数相等，此时极大线性无关组是唯一的。