根据提供的信息，老城区的私立学校包括：

1. 复旦中学

2. 西工区双语实验学校

3. 第二外国语学校

4. 洛阳凯通学校

5. 东苑中学

这些学校中，有的属于民办公助性质，有的则是纯私立学校。例如，西工区双语实验学校和第二外国语学校提供从小学到高中的教育，而洛阳凯通学校等则属于民办公助性质的学校。

如果您需要更详细的信息，例如学校的具体地址、收费标准或课程设置，请告诉我，我会尽力提供帮助