根据您提供的信息，高考理科566分能上的大学包括但不限于以下几所：

1. 首都师范大学（黑龙江理科）

2. 东莞理工学院（四川理科）

3. 北京第二外国语学院（福建理科）

4. 河北大学（江西理科）

5. 中国计量大学（湖南理科）

6. 陕西中医药大学（云南理科）

7. 重庆大学（宁夏理科）

8. 上海对外经贸大学

9. 华东政法大学

10. 首都经济贸易大学

11. 大连海事大学

12. 长安大学

13. 苏州大学

14. 广东外语外贸大学

15. 北京林业大学

16. 中国医科大学

17. 燕山大学

18. 华侨大学

19. 西安建筑科技大学（陕西）

20. 集美大学（陕西）

21. 江汉大学（湖北）

22. 东北电力大学（吉林）

23. 南京财经大学（江苏）

24. 宁夏医科大学（宁夏）

25. 成都信息工程大学

26. 青岛大学

27. 哈尔滨医科大学（黑龙江）

28. 西安交通大学（医学部）（护理类）

请注意，这些信息基于不同年份的录取数据，实际录取情况可能会有所变化。建议您查看最新的高考招生简章或咨询当地的教育考试院以获取最准确的信息