压路机操作证通常由以下部门负责颁发：

1. 劳动部门或农机部门

2. 安监局（安全生产监督管理局）

3. 质量技术监督部门

4. 公路管理局

5. 建设部门

办理压路机操作证的流程一般如下：

1. 通过培训，学习压路机的操作知识和安全规范。

2. 参加理论和实操考试。

3. 考试合格后，向相关部门提交申请，需提供身份证、培训证明、考试合格证书等材料。

4. 领取压路机操作证，通常需要等待约10个工作日。

请注意，不同地区可能存在细微差别，建议提前咨询当地相关部门或培训机构获取详细信息。