长沙海关是负责湖南省进出口货物、物品监督管理的正厅级海关，直属海关总署领导。根据提供的信息，长沙海关及其下属机构承担的主要职责包括：

1. 出入境监管

2. 征税

3. 打私（打击走私）

4. 统计

5. 对外承担税收征管

6. 学习监管

7. 保税监管

8. 进出口统计

9. 海关稽查

10. 知识产权海关保护

11. 口岸管理

长沙海关在湖南省内多个地市设立了海关机构，包括长沙黄花机场海关、郴州海关、永州海关等，并在湘西州、怀化市设立了正处级的湘西海关、怀化海关，实现了全省十四个市州海关机构的全覆盖。

此外，长沙海关还负责销毁侵犯知识产权的商品，例如在2018年销毁了5328件价值26.87万元的侵权商品，其中包括假冒的药物等。