固始县内的公办初中包括：

1. 固始县第三初级中学

2. 固始县第一中学

3. 固始县实验中学

4. 固始县外国语中学

5. 固始县赵岗乡初级中学

6. 河南省固始县段集乡伏岑中学

7. 河南省固始县往流镇陈族中学

8. 河南省固始县石佛乡初级中学

9. 河南省固始县武庙集乡锁口中学

10. 河南省固始县武庙集乡中学

11. 河南省固始县张老埠乡卢大街中学

12. 河南省信阳市固始县城关镇中学

13. 固始县第六初级中学

14. 固始县第十四小学

15. 固始新一中（新固始县第一中学）

16. 固始第九中

17. 固始第十六小学

18. 元光小学

19. 固始第十一小学

20. 固始七中

以上是根据最近的信息整理的固始县内部分公办初中名单。请注意，这个名单可能不是完整的，且学校情况可能会有变化，建议联系当地教育部门或访问官方网站获取最新信息