英语培训收费的监管通常属于以下部门：

教育局：

负责非学历文化教育培训的监管，包括英语培训。

市场监督管理局：

对营利性校外培训机构的收费规范性实施监管。

消费者协会：

如果涉及乱收费问题，消费者可向当地12315消费者协会投诉。

物价部门：

对培训机构的收费进行价格监管。

人力资源和社会保障局：

如果培训涉及职业技能培训，可能由其管理。

市场监督管理局：

如果培训机构涉及无照经营，可向市场监督管理局投诉。

如果英语培训机构存在乱收费或其他违规行为，可以向上述部门进行投诉或举报。