舞蹈班培训机构通常由多个部门进行监管，具体如下：

文化局：

负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训，确保培训内容符合当地文化政策和法规。

教育局：

通常负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理，但舞蹈培训一般不归教育局管。

市场监督管理局：

对营利性社会成人教育培训机构的登记注册、广告宣传、收费等行为进行监督管理。

人力资源和社会保障局：

对以职业技能培训为主的民办职业培训学校和民办非全日制技工院校进行管理。

体育部门：

可能负责监督舞蹈培训的体能训练和健康管理。

如果消费者权益受损，一般可以去当地市场监督管理局投诉。

需要注意的是，具体监管责任可能因地区而异，建议咨询当地的相关部门获取最准确的信息