根据提供的信息，南通市的教师招聘考试和事业单位招聘考试时间如下：

教师招聘考试时间：

南京市、南通市教师招聘考试时间是12月。

扬州市、无锡市、镇江市教师招聘考试时间是3月。

泰州市、连云港、盐城市教师招聘考试时间是5月。

淮安市、徐州市教师招聘考试时间是4月。

苏州市、常州市教师招聘考试时间是1月。

宿迁市教师招聘考试时间是7月。

事业单位招聘考试时间（以2023年为例）：

2023年4月17日（星期六）为笔试时间，具体日期可能会根据新冠肺炎疫情防控情况调整，提前10日在南通市人力资源和社会保障局网、南通人事考试网上服务平台和南通党建网另行公告。

请注意，以上信息仅供参考，具体考试时间请以官方最新公告为准。