艺术培训机构的管辖权可能因地区和具体培训类型而异，但通常情况下，它们可能属于以下部门之一：

教育局：

负责基础教育、特殊教育、校外教育、成人教育、高等教育等，包括协调、指导、监督教育工作。

文化和旅游部门：

涉及文化艺术教育，与文化和旅游产业相关联，对文化艺术教育进行监管。

文体局：

在一些地区，可能负责艺术体育类培训的管理。

市场监督管理局：

负责市场主体的登记注册和监督管理，包括查处无照经营等。

人力资源和社会保障局：

负责职业技能培训课程的监管。

科技部门：

负责科普知识培训机构的管理。

社区管理：

如果有纠纷等问题，可能属于当地社区管理。

政府机关：

如果有客户投诉等问题，可能属于当地政府机关管理。

请根据您所在地区的具体规定和培训机构的性质，确定其归属的部门。如果您需要更详细的信息，建议咨询当地的教育局或文化和旅游部门